人狼ロジックメモ

以前考えたことについての備忘録。
(というより、うおみんからの転載)

$m$ 番目の村人の視点で、 $n$ 番目の選択肢を選んだときの村の利得を $G_{nm}$ 、
$m$ 番目の村人の視点で、 $k$ 番目の配役予想の確率を $p_{km}$ 、
$n$ 番目の選択肢を選んだときの、 $k$ 番目の配役予想での村側の利得を $g_{nk}$ とすると、

$G_{nm}=g_{nk} p_{km}$
ただし、 $\forall m , \sum_k p_{km}=1$ とする。(確率の規格化)

なお、各村人視点に対しては次式が成立する。( $m=1$ のとき)
$\vec{G_n}=g_{nk} \vec{p_k}$
ベクトル $\vec{G_n}$ および $\vec{p_k}$ はそれぞれ縦ベクトルである。

例

A,B,C,D,Eの5人でゲームをしたとき。
配役バランスは、狼1,狂1,祈0,牧1,村2である。(配役公開)
期限は5日目朝までとしている。
自分はEで牧師である。(視点限定: テンソルの階数を減らし、説明を簡単にするため)
また、部屋割りは2人部屋から作り、独房ありとする。

1日目部屋割り

A→B(AがBを指名)
C→D
E(独房)

2日目朝

B,Dが死亡
A,Cはそれぞれ、「自殺された」と主張している。

このとき、A,Cのどちらかが狼であり、どちらかが村人である。
その確率はほぼ半々であると言える。
このときのリンチ時の選択の利得を考える。
村が完全に勝利する場合、利得を1、
狼が完全に勝利する場合、利得を-1となるようにする。

まず、配役の可能性は全部で以下の2つだけである。

A狼、C村、E牧師(確率 $p_1=\frac{1}{2}$ )
A村、C狼、E牧師(確率 $p_2=\frac{1}{2}$ )

よって、確率ベクトル $\vec{p}$ は次のように書ける。
$\vec{p_k}=\left( \begin{array} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)$

次に、利得を計算する。
村側の選択肢は全部で4つ。

Aリンチ(選択肢1)
Cリンチ(選択肢2)
Eリンチ(選択肢3)
割り(選択肢4)

これらの選択肢を選んだときの利得について考える。

Aリンチ(選択肢1)

Aをリンチしたとき、村人は勝てるだろうか。
Aが狼だったら勝てる、Cが狼だったら負けるということになる。
つまり、 $g_{11}=1,g_{12}=-1$ となる。

Cリンチ(選択肢2)

Cをリンチしたとき、村人は勝てるだろうか。
Cが狼だったら勝てる、Aが狼だったら負けるということになる。
つまり、 $g_{21}=-1,g_{22}=1$ となる。

Eリンチ(選択肢3)

Eをリンチしたら、A,Cどちらが狼であっても、村側が負ける。
つまり、 $g_{31}=-1,g_{32}=-1$ となる。

割り(選択肢4)

投票順がEが最後となってしまった場合有効となるが、他の投票順の時は選べないかも？
2日目夜に狼が牧師Eを噛んだとき勝つことが出来る。
その確率はほぼ半々とする。(半々とする: 厳密にはやや村側有利と考えられるが、ここでは割愛致します。)
とすると、A、Cどちらが狼であっても、リンチ後の時点ではイーブンと思われる。
つまり、 $g_{41}=0,g_{42}=0$ となる。

以上により、利得行列は次のようになる。
$g_{nk}=\left( \begin{array} 1 && -1 \\ -1 && 1 \\ -1 && -1 \\ 0 && 0 \end{array} \right)$

すると、リンチ後の利得は以下のように書ける。
$\begin{eqnarray} \vec{G_n} &=& \left( \begin{array} 1 && -1 \\ -1 && 1 \\ -1 && -1 \\ 0 && 0 \end{array} \right) \left( \begin{array} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array} 0 \\ 0 \\ -1 \\0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$

従って、
各選択肢に対する利得は次のように計算できた。

Aリンチ(選択肢1)=0
Cリンチ(選択肢2)=0
Eリンチ(選択肢3)=-1
割り(選択肢4)=0

よって、Eリンチでは確実に村が負けるが、それ以外の選択肢はイーブンである。
(配役確率(推理)が変われば、当然利得も変化する。)

以上。
長いメモ。